Занятие 2. Пятая неделя.

Часть I.

На первом занятии вы познакомились с простейшим проектором для театра теней. Для него нужен источник света (лампа, фонарик, светодиод, солнце) и экран (лист бумаги, стена, поверхность пола и прочие поверхности). В предыдущих домашних работах вы пробовали его делать. Вы уже знаете, что если лучи света параллельны друг другу, то такая проекция называется параллельной, а если нет- то перспективной. Последняя так называется, потому что в проекции будет точка схода, где проекции параллельных линий сходятся . Вот такая любопытная особенность. В перспективной проекции лучи света исходят из одной точки (Рис.1).

 

 

Рис.1. Принцип работы проектора с точечным источником света. Такой проектор создаёт перспективную проекцию. Размеры при такой проекции меняются. Например, точки А и С на теле преобразуются в точки B и D на экране. Отрезок  BD проекции больше исходного отрезка АС.

 

И в полученной проекции (Рис.2), тени параллельных прямых (на рисунке параллельные прямые обозначены красным цветом, а их тени черным) тоже стремятся пройти через общую точку- точку схода (т.К на рисунке). Правда они через нее так и не пройдут, а будут только стремиться к ней.

 

 

Рис.2. Перспективная проекция параллельных прямых на плоскость. Источник света показан кружочком оранжевого цвета. Красным цветом показаны пораллельные прямые. Черные лучи- это тени красных. Чтобы объяснить, как они получаются, проведены несколько лучей из источника света.  Лучи обозначены мелкими штриховыми линиями. Сначала, лучи проходят через точки на параллельных прямых. Эти точки отмечены красным цветом. Затем лучи проецируют красные точки в черные точки проекционной плоскости. Черные точки лежат на черных лучах. Аналогично можно было бы поступить и для других точек красных прямых. Поэтому черные лучи - это проекции красных. Получившиеся проекции красных прямых (тени красных прямых) при продлении пересекаются в т.К.(в курсе геометрии мы докажем это).

 

Интересно, что в точке К будут сходится проекции всех прямых параллельных красным. Говорят, что точка К будет точкой пересечения проекций данного семейства параллельных прямых. Если же мы возьмем другое семейство параллельных прямых, то у их проекций на плоскость будет другая точка пересечения. Если параллельные прямые будет ещё параллельны плоскости проекции (т. е. они не пересекаются с плоскостью), то их проекции-тени тоже будут параллельными. Вы можете сами в этом убедится, поиграв с проекциями параллельных реек (проволочек, брусьев, струн) и вашим простейшим проектором. Придумайте сами, как лучше это сделать.

С перспективными (или еще их называют центральными) проекциями вы хорошо знакомы по картинам и фотографиям. Рис. 3 приводит пример типичных рисунков с одной и двумя точками схода.

 

 

 

а)

 

б)

Рис 3. а) Рисунок с перспективой (точка схода Р). Как хорошо видно все параллельные линии крыш, тротуаров, этажей сходятся в т.Р. В то же время линии крыш, этажей, тротуаров параллельных плоскости рисунка (смотрящих на нас) остаются параллельными и на самом рисунке, и точки пересечения не имеют.

б) Рисунок с двумя точками схода. Здесь видны два исходных семейства параллельных прямых. У каждого из них своя точка схода.

 

Наглядным примером параллельной проекции является детская игрушка, показанная на фотографии 4а. Принцип её работы можно понять из фотографии 4б.

а)                                                          б)

Рис. 4. а) 3-х мерный игольчатый рельеф-воспроизводитель; б) принцип работы игольчатого рельеф-воспроизводителя основан на смещении параллельных красных иголок вслед за изменениями рельефа. Здесь можно посмотреть видео о том, как можно сделать такой рельеф-воспроизводитель (pin art toy), и как он работает: https://youtu.be/wFeLveRps8s  , или здесь: https://youtu.be/0YctQT__GLg

 

 

Рис.5. Принцип работы 3D рельеф-воспроизводителя.

 

На Рис.5, принцип работы игрушки показан схематично. Когда тело поднимается, то оно толкает иголки, и они тоже поднимаются. При этом каждой точке А тела соответствует своя точка В на поверхности иголок. Таким образом поверхность тела, как бы преобразуется в поверхность иголок. Можно сказать, что когда поверхность иголок касается стекла, поверхность тела проецируется в точки поверхности стекла. При такой проекции каждая точка тела проецируется вдоль соответствующей иголки, и иголки будут линиями проекции. Это будет параллельная проекция, поскольку все линии проекций параллельны. Более того, это будет ортогональная проекция, поскольку проекционные линии (иголки) перпендикулярны поверхности стекла, на которую мы проецируем тело. Особенностью ортогональных проекций являются: 1) сохранение расстояний при проецировании; и 2) параллельные прямые всегда преобразуются в параллельные. Например, на рисунке 5, отрезок АС проецируется в отрезок BD. Длины отрезков равны. Вы наверное уже догадались, где вы встречались с ортогональными проекциями. Таким примером были проекции технических чертежей с масштабом 1:1. Рис.6 показывает другие примеры ортогональных проекций выполненных с помощью такого проектора.

 

Рис.6. Примеры ортогональных проекций выполненных с помощью 3D рельеф-воспроизводителя.

 

Параллельная проекция сохраняет параллельность прямых при проекции, как и ортогональная проекция, но может менять размеры отрезков и тел. Отличия параллельной и перспективной проекций показаны на рисунке 7.

 

 

Рис.7. Слева- параллельная проекция; справа- перспективная проекция.

 

Общее для параллельных и перспективных проекций является то, что они прямые линии преобразуют в прямые, не искривляя их. Это линейные преобразования. Они могут менять размеры тел, но любая прямая преобразуется в прямую.

 

 II. Основные математические понятия, которые нам необходимо знать сейчас.

Итак физика занимается изучением явлений природы. Что мы называем явлениями? Под этим термином мы понимаем преобразования в природе, в результате которых меняются положение тел в пространстве и/или характеристики изучаемого объекта, например его температура, размеры, вес. Поэтому для описания происходящих явлений нам очень важно знать, что такое преобразование. С одним из примеров преобразований, проецированием, вы только что познакомились. При проецировании одна фигура преобразуется в другую.

Как следует из самого названия, преобразование описывает любое явление, когда что-либо преобразуется. На языке математики, это же звучит немного по другому.

Во- первых, неопределенное понятие «что-либо», заменяется на более конкретное «множество точек». При этом под словом точка может пониматься все что угодно: числа, мячи, ячейки таблицы, точки тени, способы бега, цвета радуги и т.д. Во-вторых, преобразование означает преобразование этой точки в другую точку. Преобразовав все точки исходного множества в «другие», мы таким образом создаём новое множество преобразованных точек (Рис.8):

 

 

Рис.8. Преобразование исходного множества точек в преобразованное.

 

Посмотрим, что такое преобразование на примере обжаривания курицы (Рис.9). Стрелками показано в какие точки преобразуются отдельно взятые точки на исходной тушке. Понятно, что для примера таких точек можно было бы взять много больше. Математик скажет, что вся тушка курицы состоит из бесконечно маленьких точек, и таких точек бесконечно много. Если же физик станет моделировать поведение тушки при обжаривании, то он скажет, что каждая такая точка заключает в себя очень маленький объем тушки курицы. И чем меньше этот объем, тем больше таких точек, тем точнее мы сможем рассказать, что происходит при преобразовании.

Вообще преобразовываться могут не только материальные точки и их координаты. Преобразовываться могут и разные величины характеризующие технологические процессы или состояние тела. Например в случае с курицей, это могла бы быть температура тушки в отдельных точках в разные моменты времени обжаривания.

Рис.9. Преобразования при обжаривании курицы

 

Рис.10. Преобразования человека, выполненные с помощью компьютерной графики.

 

Фотография на Рис.10 иллюстрирует виртуальные преобразования человека, осуществленные с помощью компьютерной графики. Для примера, показано преобразование всего одной точки изображения человека. Даже в процессе создания самого простого изображения на компьютере, например того, что вы видите перед собой, каждая точка-пиксель исходной фотографии преобразуется несколько раз перед тем, как вы увидите её на экране монитора.

Эти две фотографии (Рис.11) бегущего человека показывают преобразование положения точек тела бегуна в пространстве. На первом снимке для примера взята опять только пара точек. Вы можете определить преобразования остальных точек тела сами. Вторая фотография показывает преобразование полосок-меток на одежде бегуна в пространстве во время бега. Таким образом изучают движение частей тела во время бега. Знание того, как преобразуется их положение относительно друг друга, затем используется в компьютерной графике при рисовании мультфильмов и создании современных художественных фильмов.

 

Рис.11. Изменения положения частей тела человека при беге.

 

Как именно каждая точка исходного множества преобразуется в точку преобразованного множества — определяется функцией, которая задаёт это преобразование.

Другими словами функция описывает правила по которым производится преобразование. Существует только 5 различных способов задания функции: с помощью 1) таблиц, 2) графика, 3) аналитического выражения (уравнения), 4) словесного описания, и 5) рекуррентного способа (когда есть многократно повторяемые преобразования, и каждое последующее преобразование определяется предыдущим) .

 

Поскольку функция описывает преобразования, то для её задания необходимо задать исходное множество точек. На языке функций, оно называется множеством определения функции, или областью определения функции. А множество в которое оно преобразуется, называется множеством значений функции, или областью значений функции.

Для нас преобразование и функция очень важные понятия, потому что мы будем пользоваться ими для программирования и в таблицах OpenOffice.

 

Начнем мы изучение функций с задания их графиками и таблицами.

На прошлых занятиях вы играли в морской бой на клетчатой бумаге и знаете, что такое координаты. Рассмотрим клетчатое поле аналогичное полю морского боя, только для обозначения столбцов заменим буквы на цифры. То есть запишем цифры так же, как и для строк. Кроме этого, увеличим число клеток до 15. Тогда у нас горизонтальные и вертикальные координаты клеток будут целыми числами от 1 до 15. Горизонтальную координату будем называть осью Х, а вертикальную осью Y. Координатами, по прежнему будет пара чисел, которые мы будем записывать в скобках вот таким образом: (Х, Y), где вместо Х и Y мы будем записывать соответствующие значения координат клеток. Например, запись (3,5) означает точку на координатной плоскости, для которой координата Х равна 3, а координата Y равна 5. Обратите внимание, поскольку мы не используем теперь букв для координат, то чтобы не было путаницы, всегда первая цифра будет координатой Х, а вторая- координатой Y. Добавим еще точку с координатами (0,0). У нас получится такое поле (Рис.12), которое наывается координатной плоскостью.

 

Рис.12. Поле с декартовами координатами

 

На этом поле проведем три разных линии (Рис.13):

 

Рис.13. Три линии на координатной плоскости. Каждая из линий задаёт свою функцию, определяющую для каждой точки линии координату X и координату Y.

 

Обратите внимание, проведя линию мы задаём правило, по которому каждой точке оси Х можно поставить в соответствие определенную точку оси Y. Пусть например, точка по оси Х имеет координату 7. Тогда если мы возьмем зеленую линию, то точка линии с координатой Х равной 7 имеет координату Y равную тоже 7. А красная линия, аналогичным способом, поставит в соответствие точке Х равной 7 точку Y равную 3. Это означает, что зная линию, мы с её помощью всегда найдем для каждой её точки Х соответствующую точку Y. Таким образом, линия на координатной плоскости определяет функцию, ставящую в соответствие каждой точке оси Х, определенную точку оси Y. Т.е. мы задали правило преобразования точек множества Х в точки множества Y. Но конечно, это правило работает только для тех Х, для которых линия определена. Например, зеленая и красная линии определены для точек Х от 1 до 15, но не определены для точки X=0. А фиолетовая линия определена только для точки X=12. Как мы уже говорили, точки на которых определена линия (а соответственно и функция задаваемая линией) называются её областью определения.

 

Теперь мы оцифруем линии. Для этого представим, что мы играем в морской бой и нам надо точно попадать по линиям. Стрелять по точкам линий будем задавая их координаты так же, как мы стреляли по кораблям. Наши точные выстрелы будем записывать в виде таблицы с двумя колонками. В первой колонке, назовем её колонка Х, будем записывать Х координату точек. Во второй, в колонке Y, будем записывать соответствующую координату Y для каждой точки колонки Х. Например для зеленой линии получим следующую таблицу:

 

Х

Y

1

1

2

2

4

4

6

6

8

8

10

10

12

12

14

14

15

15

 

 

Вы конечно заметили, что я оцифровал не все точки, а только крайние и с четными Х. Можно было оцифровать все точки, а можно было было оцифровать и другие точки, например только с нечетным Х. Количество точек определяется только тем, насколько точно вы хотите задать вашу функцию. Минимальное количество точек, которые необходимо задать для прямой линии, равно 2 (почему??) . Максимальное число точек для зелёной линии в нашем случае будет равно 15, ведь мы используем для координат только целые числа. Но всегда желательно задавать крайние точки, поскольку они определяют области определения и области значений функции.

Для фиолетовой линии таблица может быть такой:

 

Х

Y

12

2

12

3

12

5

12

8

12

12

12

15

 

 

 

 

 

 

Домашнее задание 2. Пятая неделя

 

Задача 1/задание обязательное.

 

а) eDrawings. Линейные преобразование параллельных прямых. Используйте присланный вам файл с двумя параллельными струнами, eDrawings и определите все возможные типы проекций параллельных струн на плоскость экрана. При работе используйте ортогональную проекцию, а струны вращайте всеми возможными способами.

б) Сделайте сами макет параллельных прямых из подручных материалов, и получите линейные преобразования параллельных прямых с помощью изменения угла наклона плоскости проецирования при параллельном проецировании. В качестве источника света для такого проектора используйте солнце или далеко стоящую лампу.

 

в) Линейные преобразование плоских фигур: круга, прямоугольника, параллелограмма, треугольника с  помощью eDrawings и присланных вам файлов с геометрическими плоскими фигурами. Кто получит больше разных типов треугольников, четырехугольников, овалов в результате преобразований.

 

Задача 2/задание обязательное.

Загрузите OpenOffice и просмотрите учебные фильмы, перечисленные ниже. Выполните/повторите все упражнения, которые делаются в учебных фильмах.

 

Введение в программирование.

В данном курсе, для построения графиков и решения физических задач нам также потребуется некоторое программное обеспечение. Мы начнем с использования свободно распространяемого программного обеспечения OpenOffice (здесь можно бесплатно загрузить последнюю версию http://download.openoffice.org/ ). Для этого укажите вашу операционную систему и загрузите OpenOffice (кликнете на Download full installation). Программа закачает установочный файл на ваш компьютер. Это займет некоторое время. Потом запустите исполнительную программу кликнув на сохраненный файл. Дальше следуйте установочным инструкциям. Запаситесь терпением: инсталляция программы может занять до получаса. После установки OpenOffice, Вам надо открыть OpenOffice.org Calc.

Внимание тем, у кого операционная система Linux!!!

Вам загружать OpenOffice не надо. У вас есть LibreOffice. Это полный аналог OpenOffice. Все что будет говориться и делаться на OpenOffice, точно также делается и называется на LibreOffice. Заменяйте для себя только название OpenOffice на LibreOffice. Вы также можете использовать все коды, библиотеки, описания и литературу написанные для OpenOffice.

Здесь учебные фильмы, которые объяснят как пользоваться таблицами Spreadsheets в OpenOffice Calc:

Введение. Использование таблиц в качестве калькулятора: https://youtu.be/GPvK7brpOzo

Введение. Функции и графики: 

https://youtu.be/HgsfXzyRwSg

Работа с графиками. Делаем таблицу умножения:

https://youtu.be/2vymTy2FR2k

https://youtu.be/PA57siQBxDM

https://youtu.be/c48ivzUgqYI

 

 

 

 

Основная информация содержится в учебных видео, но на всякий случай ниже приводятся текстовые пояснения, как начать работать с таблицами в OpenOffice Spreadsheets:

OpenOffice for beginners