Занятие 1. Первая неделя.

Подобие и подобные фигуры.

Что такое подобие? Возьмем любую картинку и попробуем нарисовать такую же на листе бумаге. Если это будет делать художник, то скорее всего он сможет нарисовать почти точно такую же картинку. По крайней мере нам будет очень сложно их отличить друг от друга. Если же мы будем рисовать, то скорее всего наш рисунок не станет точной копией, и его можно будет легко отличить от оригинала. Например, пусть была дана такая картинка:

 

Рис.1. Исходная картинка, которую надо нарисовать.

 

Четверо ребят взялись нарисовать такую же фигуру. Вот, что у них получилось:

 

 

Рис.2. Рисунки четырех мальчиков


Поглядев на их рисунки, мы можем заметить, что II рисунок не похож на оригинал. А вот рисунки I, III, и IV похожи. Только рисунок I меньше оригинала, а рисунок IV — больше. Почему мы решили, что рисунок II не похож на исходную фигуру? Очевидно, для этого мы сравнили все части нарисованного мальчиком рисунка с соответствующими им частями исходного рисунка. Например, можно отметить, что в фигуре II, стороны внутреннего восьмиугольника стали много меньше сторон соответствующего им исходного внутреннего восьмиугольника. Но вот что интересно: в фигуре I, стороны аналогичного внутреннего восьмиугольника тоже меньше сторон исходной фигуры. Тем не менее, фигура I все равно похожа на исходную фигуру. Почему? Потому, что и все остальные стороны и части рисунка I меньше соответствующих сторон и частей оригинала. Причем все отрезки фигуры уменьшились одинаково. То есть, если стороны внутреннего восьмиугольника уменьшились в два раза, то и стороны внешнего восьмиугольника тоже уменьшились в два раза. Поэтому соотношение сторон и отрезков внутри фигуры не изменилось. Например отношение длины стороны внутреннего восьмиугольника к длине стороны внешнего многоугольника осталось таким же, как и в исходной фигуре. Эта же закономерность верна и для фигуры IV. Только в этом случае все стороны не уменьшились, а увеличились в одинаковое число раз. Аналогичное происходит, когда мы используем в компьютере функцию Zoom. В фигуре III все размеры равны соответствующим размерам исходной фигуры.
Итак мы теперь знаем, для того, чтобы наш рисунок был похож на оригинал, нам не обязательно рисовать его точную копию. Но нам обязательно надо сохранять соотношение между отдельными частями рисунка. Тогда если наш рисунок будет меньше, то все его части будут уменьшены в одинаковое число раз. А если больше оригинала, то все его части будут увеличены, но тоже в одинаковое число раз. Посмотрите например, как надо учиться правильно рисовать рисунки: https://youtu.be/QrC2ypQI5Qw.

Про похожие фигуры говорят, что они подобны друг другу. А число, указывающее во сколько раз фигура больше или меньше, называется коэффициентом подобия. Если коэффициент подобия меньше единицы, то фигура меньше оригинала. Если коэффициент больше единицы, то подобная фигура увеличилась. А если коэффициент равен 1, то подобная фигура равна исходной.
Рассмотрим теперь примеры подобных фигур, которыми будем очень часто пользоваться.
Пример 1.
Сначала рассмотрим подобные треугольники, например такие:

 
Рис. 3. Подобные треугольники.


Чтобы их различать присвоим им имена. Для этого обозначим каждую вершину своей буквой. Например, как это сделано на рисунке. Тогда первый треугольник называется ΔABC, а второй- ΔDEF. Как мы договорились, эти треугольники будут подобными, если для отношения длин их сторон будет верно |AB|/|DE|=|BC|/|EF|=|CA|/|FD|. Как мы уже говорили, эти отношения равны коэффициенту подобия k. Т.е. k = |AB|/|DE|=|BC|/|EF|=|CA|/|FD|. Поскольку k = |AB|/|DE|, то k *|DE| = |AB|. Аналогично, раз
k=|BC|/|EF|, и k= |CA|/|FD|,
то k*|EF| =|BC| , и k*|FD|=|CA|.
Но тогда |AB|/|BC|=k *|DE|/(k*|EF|)=|DE|/|EF|. Точно также получим, что |BC|/|CA| =|EF|/|FD| . То есть мы доказали, что если все стороны треугольника изменились в k раз, то соотношения между длинами его сторон не изменились.

Пример 2.
Конечно нарисовать подобные фигуры не просто. Но в ряде случаев существуют приемы упрощающие такое рисование.


Прием первый.

Возьмем произвольный треугольник и проведем внутри него прямую m параллельную его стороне BC. Получившийся треугольник ΔAKL будет подобен ΔABC.

Рис. 4. Показано, как с помощью прямой m параллельной одной из сторон треугольника ABC, можно нарисовать треугольник AKL подобный треугольнику ABC.


Прием второй.

Для того чтобы произвольные треугольники были подобны, надо чтобы углы при вершинах одного были равны углам при вершинах другого треугольника.


Рис. 5. Подобие треугольников по трем углам. Треугольник ABC подобен треугольнику SEP. Углы обозначены греческими буквами. Одинаковые углы обозначены одинаковым цветом и одинаковой буквой. Чтобы в этом убедиться, нарисуйте два таких треугольника на листе бумаги и вырежьте их. Затем наложите треугольник АВС на треугольник SEP так, чтобы точки А и S, и стороны AC и SP совпали. А теперь внимательно посмотрите и вы увидите, что результате такого наложения сторона ВС стала параллельна стороне EP. То есть получилось, то же самое, что в первом способе.

Прием третий.

Оказывается для того чтобы два треугольника были подобны , достаточно чтобы углы при двух вершинах одного треугольника были равны углам при двух вершинах другого.

 

Рис. 6. Подобие треугольников по двум углам. Треугольник ABC подобен треугольнику КРТ. Одинаковые углы обозначены одинаковым цветом и одинаковой буквой.

Почему достаточно равенства только двух углов? Следующий рисунок поясняет это. Попробуйте по нему сами доказать, что в треугольнике сумма трех его углов равна всегда 180 градусам. Поэтому если заданы два угла, то третий уже можно не задавать. Его величину можно найти, вычтя из 180градусов сумму двух заданных углов.

 

Рис.7. Дан треугольник АВС. Продлим сторону АС. Получим прямую n. Затем через вершину С проведем прямую p параллельную стороне АВ. У нас при точке С получились углы α, β и γ. Это те же самые углы, что и в треугольнике. Чему равна сумма этих трех углов? В том что углы α, β и γ равны углам треугольника, вы можете убедится, измерив их. Необходимо только, чтобы ваш лист был плоский, не изогнутый, а прямая p была строго параллельна АВ. Это не так-то просто сделать. Какие способы проведения параллельных прямых вы знаете?

 

 Для чего нам понадобятся подобные фигуры и способы их построения? Мы будем использовать эти знания для построения наших моделей и макетов, точных копий зданий и машин.

Сначала, в течении первой недели, вам надо выполнить домашние задания на подобные фигуры и коэффициент подобия. Затем, в течении второй недели, выпонить расчет макетов нашей церкви и топологической карты Палестины времен Иисуса Христа. После этого мы приступим к их изготовлению из папье маше.

Для изготовления макетов вам потребуются также фотографии нашего храма. Они приведены в конце этого тескта .

Домашние задания к уроку находятся здесь (только не забудьте предварительно залогироваться):

1. Задание на подобные фигуры и коэффициент подобия

2. Расчет размеров макетов.